Matematik

Matematik sayı, biçim, uzay, değişim konularının ve bunlar arasındaki ilişkinin akıl yoluyla incelenmesidir. Matematikçiler ve filozoflar, matematiğin tanımı ve kapsamı ile alakalı farklı görüşlere sahiptir.

Matematikçiler kalıplar ararlar ve bunları yeni varsayımları formüle etmek için kullanırlar. Matematikçiler, varsayımların doğruluğunu veya yanlışlığını matematiksel ispatla çözerler. Matematiksel yapılar gerçek olguların iyi modelleri olduğunda, matematiksel akıl yürütme, doğa hakkında fikir sahibi olma veya öngörü sağlayabilir. Matematik soyutlama ve mantık kullanımı yoluyla sayma, hesaplama, ölçme ve fiziksel nesnelerin şekil ve hareketlerinin sistematik olarak incelenmesini sağlar. Pratik matematik, yazılı kayıtlardan bu yana insanlık faaliyeti olmuştur. Matematiksel problemleri çözmek için yapılacak araştırma, yıllarca hatta yüzyıllarca süren sorgulamayı gerektirebilir.

İlk titiz çalışmalar Yunan matematiğinde karşımıza çıkar. Bunların en önemlisi Öklid'in 'Elementler' adlı eseridir. İtalyan matematikçi Giuseppe Peano (1858-1932) ve Alman matematikçi David Hilbert (1862-1943) gibi matematikçiler 19. yüzyılın sonundaki aksiyomatik sistemler hakkındaki diğer çalışmalarından bu yana araştırmalarda uygun olarak seçilmiş aksiyomlardan titiz bir çıkarımla doğruyu ortaya koyma yöntemi benimsemiştir. Matematik, Rönesans'a kadar nispeten yavaş ilerlemiştir. Matematiksel yeniliklerin yeni bilimsel keşiflerle etkileşime girmesiyle günümüze kadar devam eden matematiksel keşif hızında bir artış olmuştur.

Galileo Galilei (1564-1642) matematik için "Kainat dediğimiz kitap, yazıldığı dil ve harfler öğrenilmedikçe anlaşılamaz. Bu kitap matematik dilinde yazılmış; harfleri ise üçgen, daire ve diğer geometrik şekillerdir. Bu dil ve harfler olmaksızın kitabın bir tek sözcüğünü anlamaya olanak yoktur. Bunlar olmadan yapılan iş karanlık bir labirentte amaçsızca dolaşmaya benzer" ifadelerini kullanmıştır. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) matematiği "Bilimin Kraliçesi" olarak adlandırmıştır. Benjamin Peirce (1809-1880) matematiğini "gerekli çıkarımları yapan bilim" olarak ifade etmiştir. David Hilbert, matematik hakkında "Burada herhangi bir anlamda keyfi olmaktan söz etmiyoruz. Matematik, görevleri keyfi biçimde öngörülen kurallar tarafından belirlenen bir oyuna benzemez. Aksine içsel zorunluluğu olan kavramsal bir sistemdir. Hiçbir şekilde başka türlü olamaz."  demiştir. Albert Einstein (1879-1955) "Matematik yasaları gerçeğe işaret ettiği sürece kesin değildir ve kesin oldukları ölçüde gerçeğe değinmiyorlar" demiştir.

Doğa bilimleri, mühendislik, tıp, finans ve sosyal bilimler gibi bir çok alanda matematik kullanılmaktadır. Uygulamalı matematik sayesinde istatistik ve oyun teorisi gibi tamamen yeni matematik disiplinleri ortaya çıkmıştır. Matematikçiler ayrıca kullanım alanlarını düşünmeden saf (teorik) matematikle de uğraşırlar. Teorik ve uygulanalı matematiği birbirinden ayıran net bir çizgi yoktur. Çoğu zaman teorik matematikte keşfedilenler pratik matematikte kendine uygulama alanı bulmaktadır.

Matematiğin Tarihçesi

Matematik tarihi, giderek artan bir soyutlama serisi olarak görülebilir. İlk soyutlama, muhtemelen sayılar idi. İki elma topluluğunun ve iki portakal topluluğunun ortak yanlarından biri hiç şüphesiz üyelerinin miktarıdır.

Kemik üzerinde bulunan çentikler göstermiştir ki tarih öncesi insanlar fiziksel nesneleri nasıl saydıklarına ek olarak, günler, mevsimler, yıllar gibi soyut niceliklerin nasıl sayılabileceğini de fark etmiş olabilirler.

Babilliler ve Mısırlılar, vergilendirme gibi mali hesaplamalarda, yapı ve astronomide aritmetik, cebir ve geometriyi kullanmışlardır. MÖ 3000'e kadar karmaşık matematiğe rastlanmaz. Matematiğin en erken kullanım alanları ticaret, arazi ölçümü, boyama ve dokuma kalıpları ile zamanın kaydedilmesi olmuştur.

Arkeolojik kayıtlarda Babil matematiğine ait basit aritmetik işlemlere (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) rastlanır. Milattan önce 1650'de yazıldığı tespit edilen Rhind Papirüslerinde geometri ve cebir konularından bahsedildiği görülür.

MÖ 600 ve 300 yılları arasında Yunan matematiğinde, sistematik çalışmalara başlandığı görülür.

İslamın altın çağında, özellikle 9. ve 10. yüzyıllarda, matematik alanında birçok önemli yenilikler olmuştur. Bunların çoğunda, Harizmi, Ömer Hayyam ve Ṭûsî gibi Fars matematikçilerinin katkıları bulunmaktadır .

Matematik o zamandan beri genişledi. Bu süreçte bilim ve matematik arasında verimli etkileşimler oldu. Matematiksel keşifler günümüzde de devam etmektedir.

Mikhail B. Sevryuk'a göre, Amerikan Matematik Derneği'nin Ocak 2006  bülteninde "1940 yılından bu yana Matematiksel Yorumlar veri tabanında yer alan evrak ve kitapların sayısı  1,9 milyon'dan fazladır ve her yıl 75 bin'den fazla madde veri tabanına eklenmektedir. Bu okyanustaki çalışmaların ezici çoğunluğu yeni matematiksel teoremler ve ispatlar içeriyor" ifadelerine yer verildi.

Matematik Kelimesinin Kökeni

Matematik kelimesi Yunanca μάθημα (máthēma)'dan gelir. Antik Yunan dilinde "μάθημα" kelimesi öğrenilen şey, eğitim, bilim gibi anlamlara gelse de günümüz Yunanca'sında sadece "ders" anlamına gelmektedir. Máthēma kelimesi μανθάνω (manthano)'dan türetilirken modern Yunanca eşdeğeri μαθαίνω (mathaino)'dır. Her ikisi de "öğrenmek" anlamına gelir. Yunanistan'da "matematik" kelimesi klasik zamanlarda bile daha dar ve teknik anlamda "matematiksel çalışmayı" ifade ediyordu. Sıfatın anlamı μαθηματικός (mathēmatikós), "öğrenmeye bağlı" veya "çalışkan" anlamındadır ve aynı zamanda "matematiksel" anlamına gelmektedir. Özellikle, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), (Latince: ars mathematica) "matematiksel sanat" anlamına geliyordu.

Benzer şekilde, Pisagorculukta iki ana düşünce okulundan birinde, modern anlamda "matematikçiler" olarak bilinen "mathēmatikoi" (μαθηματικοί) sözcüğü "öğretmenler" anlamına geliyordu.

Yaklaşık 1700 yılına kadar Latince ve İngilizce'de matematik terimi "astroloji" (veya bazen "astronomi") anlamında kullanılıyordu. Anlam 1500'den 1800 yıllarına kadar kademeli olarak değişti. Bu, çeşitli yanlış çevirilerle sonuçlandı. Bunun kötü bir örneği, Saint Augustine'in Hristiyanlardan, astroloji anlamayanların matematikten uzak durmalarını söylemesi olmuştur ki bu matematikçilerin kınanması olarak yanlış tercüme edilmiştir.

Fransız çoğul formları les mathématiques (ve daha az kullanılan tekil türev la mathématique) gibi İngilizce'de görülen çoğul hal, Latince nötr çoğul matematiğe dönerken, Yunanca çoğul τα μαθηματικά (ta mathēmatiká) kelimesi Aristoteles (MÖ 384-322) tarafından kullanılır ve kabaca "her şeyin matematiksel" olduğu anlamına gelir. Her ne kadar İngilizce'nin yalnızca sıfat matematasını ödünç alması ve Yunan'dan devralınan fizik ve metafizik kalıplarından sonra yeniden matematik adını oluşturduğu akla yatkındır. İngilizce'de, ad matematiği tekil fiil biçimlerini alır. Genellikle maths. olarak  veya İngilizce konuşan Kuzey Amerika'da math. olarak kısaltılır.

Matematiğin Tanımı

Aristo, matematiği "nicelik bilimi" olarak tanımladı ve bu tanım 18. yüzyıla kadar yaygın olarak kullanıldı.19. yüzyıldan başlamak üzere, titizlikle yürütülen matematik çalışmalarında artış oldu. Grup teorisi ve projektif geometri gibi soyut konulara yönelmeye başlayan matematikçiler nicelik ve ölçüm arasında net bir ilişki kuramayınca yeni tanımlar önermeye başladılar. Bu tanımlardan bazıları, matematiğin çoğunun tümdengelimli karakterini vurgularken bazıları soyutluğunu ve belirli konularını vurgular. Bugün, matematikçiler arasında bile, matematiğin tanımı konusunda görüş birliği yoktur. Matematiğin sanat mı yoksa bir bilim mi olduğu konusu hep tartışıla gelmiştir. Birçok profesyonel matematikçi, matematiğin tanımına ilgi duymaz veya onu tanımlayamayacağını düşünür. Bazıları sadece "Matematik, matematikçilerin yaptığı şeydir" der.

Matematiğin tanımı mantıksal, sezgisel ve biçimsel olmak üzere üç farklı grupta yapılır. Bunların her biri farklı bir felsefi düşünce ekolünü yansıtmaktadır. Bununla beraber her birinin ciddi sorunları olduğundan hiçbiri yaygın kabul görmemektedir. 

Benjamin Peirce 1870 yılında matematiği mantık açısından değerlendirmiş ve"gerekli çıkarımları yapan bilim" olarak tanımlamıştır. Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead'ın 1910 yılında yayımladıkları Principia Mathematica (Matematiğin İlkeleri) adlı eserinde mantıkçılık olarak bilinen felsefi programı geliştirdiler ve tüm matematiksel kavramların, ifadelerin ve ilkelerin tamamen sembolik mantık açısından kanıtlanabileceğini ispatlamaya çalıştılar. 1903'te matematiğin mantıksal tanımını yapan Russell "Tüm Matematik Sembolik Mantıktır" demiştir.

Matematikçi L.E.J. Brouwer felsefesinden gelişen sezgisel (intuitionist) tanımlar, matematiğin belirli zihinsel olgularla tanımlandığını belirtir. Bir intuitionist tanımı örneği "Matematik, birbiri ardına yapılar inşa etmeyi içeren zihinsel etkinliktir." Sezgi uzmanlığının bir özelliği, diğer tanımlara göre geçerli kabul edilen bazı matematiksel fikirleri reddetmesidir. Özellikle, diğer matematik felsefeleri, inşa edilemese de var olabileceği kanıtlanabilen nesnelere izin verirken, sezgiselciler yalnızca gerçekte yapılabilecek matematiksel nesneleri kabul ederler.

Biçimcilik, matematiği sembollerle ve üzerinde işlem yapma kurallarıyla tanımlar. ABD'li Matematikçi Haskell Curry, matematiği sadece "biçimsel sistemlerin bilimi" olarak tanımlamıştır. Biçimsel bir sistem, semboller veya simgeler kümesidir ve simgelerin formüllere nasıl eklenebileceğini anlatan bazı kurallardır. Aksiyom kelimesinin bilindik anlamı "kanıtlamaya ihtiyaç duyulmayan açık bir gerçek" dir. Biçimcilikte ise bir aksiyom, sistemin kurallarını kullanarak türetilmek zorunda kalmadan belirli bir biçimsellikte yer alan belirteçlerin birleşimidir.

Bilim ve Matematik

Gauss, matematiğe "Bilimin Kraliçesi" olarak atıfta bulundu. Orijinal Latin Regina Scientiarum'da ve Alman Königin der Wissenschaften'da  bilimle ilgili kelime "bilgi alanı" anlamına gelir ve bu aynı zamanda İngilizce'deki "bilim" in orijinal anlamıdır; Matematik bu anlamda bir bilgi alanıdır. "Bilim" in anlamında, ilkel prensipleri araştıran Aristotele metodu olan doğa bilimini bilimsel araştırmayla karşılaştıran Bacon biliminin yükselişi izler. Ampirik deney ve gözlemin rolü, biyoloji, kimya veya fizik gibi doğal bilimlerle karşılaştırıldığında matematikte önemsiz seviyededir. Marcus du Sautoy, matematiğini "bilimsel keşfin arkasındaki ana itici güç" olarak adlandırmıştır.

Birçok filozof, matematiğin deneysel olarak yanılmaz olmadığını ve dolayısıyla felsefeci Karl Popper'in tanımına göre bir bilim olmadığına inanıyorlar. Bununla birlikte, 1930'larda Kurt Gödel'in eksiklik teoremleri birçok matematikçiyi matematiğin yalnızca mantığa indirgenemeyeceği konusunda ikna etti. Karl Popper "Bir çok matematik teorisinin, fizik ve biyolojide olduğu gibi, hipotetik-çıkarımcı olduğu ,saf matematiğin hipotezleri varsayımlar olan doğal bilimlere daha yakın olduğu görülüyor" ifadelerini kullanmıştır. Diğer düşünürler, özellikle Imre Lakatos, yanlışlamacılığın bir versiyonunu matematiğe uygulamıştır.

Alternatif bir görüş, bazı bilimsel alanların (teorik fizik gibi), gerçekliğe uyacak şekilde tasarlanmış aksiyomlarla birlikte matematiksel olmasıdır. Teorik fizikçi John Michael Ziman, bilimin halkın bilgisi olduğunu ve dolayısıyla matematiği de içine aldığını belirtmiştir. Matematik, fizik bilimlerindeki birçok alanda özellikle de varsayımların mantıksal sonuçlarının araştırılması konusunda ortaklık gösterir. Sezgi ve deney, hem matematikte hem de diğer bilimlerdeki varsayımların formülasyonun da  rol oynar. Deneysel matematik, matematikte önemli bir yere sahiptir. Hesaplama ve simülasyon hem fen bilimlerinde hem de matematikte artan bir rol oynamaktadır.

Matematikçilerin bu konuda çeşitli görüşleri vardır. Çoğu matematikçi, alanlarını bilim olarak adlandırmanın estetik yanının önemini ve tarihini geleneksel yedi liberal sanatta önemsememek olduğunu düşünüyor. Bazı matematikçiler ise matematiğin bilimlerle olan bağlantısını göz ardı etmenin, matematik ile bilim uygulamaları arasındaki arayüzün matematiğin ilerlemesine neden olduğu gerçeğini görmezlikten gelmek olacağını söylemektedir. Bu görüş ayrılığının sebeplerinden bir tanesi, matematiğin icat mı yoksa keşif mi olduğu tartışmadır. Üniversitelerin Bilim ve Matematik bölümlerinin de ortak alanları vardır. Uygulamada, matematikçiler genelde tipik düzeydeki bilim insanlarıyla gruplandırılır, ancak daha ince seviyelerde ayrılırlar. Bu, matematik felsefesinde ele alınan bir çok konudan biridir.

İlham, saf ve uygulamalı matematik ve estetik

Matematik, birçok farklı probleme çözüm arayışından ortaya çıkmıştır. İlk başta ticaret, arazi ölçümü, mimari ve daha sonrasında astronomide; bugün, tüm bilimler matematikçiler tarafından geliştirilen problemleri kullanmaktadır. Bu problemlerin birçoğu matematiğin kendi içinden ortaya çıkmıştır. Örneğin, fizikçi Richard Feynman, matematiksel akıl yürütme ve fiziksel sezgilerin bir kombinasyonunu kullanarak kuantum mekaniğinin çizgi integral formülünü icat etti. Yeni matematiksel çalışmalar bugünkü sicim teorisine (doğanın dört temel kuvvetini birleştirmeye çalışan halen gelişmekte olan bilimsel teori) ilham vermeye devam ediyor.

Matematiğin bir bölümü yalnızca kendi ilham alanında önemlidir ve o alandaki diğer sorunları çözmek için uğraşır. Ancak çoğu zaman, bir alandan esinlenilen matematik, birçok alanda yararlıdır ve matematiksel kavramların genel stokuna katılır. Teorik matematik ve uygulamalı matematik arasında bir ayrım yapılmaktadır. Bununla birlikte, teorik matematik konularında uygulamalarda görülür; örneğin kriptografide sayı teorisi gibi. Bu dikkat çekici gerçek, "en saf" matematiğin bile çoğu zaman pratik uygulamaları olduğunu ortaya koyar. Eugene Wigner buna "matematiğin mantıksız etkinliği" demiştir. Bilimsel çağdaki bilgi patlaması çoğu çalışma alanında olduğu gibi, matematikte de uzmanlaşmaya yol açmıştır. Matematikte yüzlerce uzmanlık alanı vardır ve en son matematik konu sınıflaması 46 sayfaya kadar çıkmıştır. Uygulanan matematiğin çeşitli alanları, matematik dışında ilgili geleneklerle birleşerek istatistikler, operasyon araştırmaları ve bilgisayar bilimi gibi kendi başlarına disiplinler haline gelmiştir.

Matematiğe eğimli olanlar için, matematik estetik bir yöne sahiptir. Çoğu matematikçi, matematiğin zarafeti, iç estetiği ve gizli güzellikleri hakkında konuşurlar. Sadelik ve genellik değerlidir. Euclid'in sonsuz sayıda asal sayı olduğunun kanıtında veya  Fourier dönüşümünün ispatında sadelik ve zarafet görülür. Godfrey Harold Hardy 1940'da yayımladığı "Bir Matematikçinin Savunması" adlı eserinde, bu estetik kaygıların saf matematik çalışmasını haklı çıkarmak için yeterli olduğunu düşünüyordu. Matematiksel estetiğe katkıda bulunan faktörler olarak anlamlılık, beklenmediklik, kaçınılmazlık ve ekonomi gibi ölçütleri sıralayabiliriz. Paul Erdős'a göre, matematikçiler "Tanrı'nın Kitabı" nın kanıtlarını bulmak için çabalıyorlar. Rekreasyonal matematiğin popülerliği, birçoklarının matematiksel soruları çözmedeki zevkinin başka bir işaretidir.

Gösterim, dil ve titizlik

Günümüzde kullanılan matematiksel ifadelerin çoğu, 16. yüzyıla kadar bilinmiyordu. Bundan önce, matematik daha çok kelimelerle yazılıyordu ve buda matematiksel keşifleri sınırlıyordu. Bugün kullanılan pek çok matematiksel işaretler Euler (1707-1783) tarafından geliştirilmiştir. Modern gösterimler matematiği daha kolay hale getirirken yeni başlayanların gözünü korkutmaktadır. Çünkü birkaç sembol çok sayıda bilgiyi içermektedir. Müzikal gösterimde olduğu gibi, modern matematiksel gösterimde de katı bir söz dizimi vardır ve başka bir şekilde yazmanın zor olacağı bilgileri kodlar.

Matematiksel dil, yeni başlayanlar için anlaşılması zor olabilir. Günlük konuşmalarda "veya" kelimesi gibi yaygın olarak kullanılan sözcükler matematikte daha kesin anlamlar ifade eder. Homeomorfizm ve integral gibi teknik terimler matematikte kesin anlamlara sahiptir. Buna ek olarak, "ise", "ancak ve ancak" gibi kısa ifadeler matematiksel jargonda kullanılır. Özel işaret ve teknik kelimelerin kullanım sebebi matematiğin günlük konuşmalardan daha hassasiyet gerektirmesidir. Matematikçiler, dil ve mantık hassasiyetini "titizlik" olarak ifade ederler.

Matematiksel ispatlar temelde titiz bir çalışma gerektirir. Matematikçiler, teoremlerinin sistematik mantık yardımıyla aksiyomlardan çıkmasını isterler. Bu konu hatalı sezgilere dayalı yanlış teoremleri önlemek içindir. Matematiğin beklediği kesinlik düzeyi zaman içinde değişmiştir. Isaac Newton zamanında kullanılan yöntemler daha az kesindi. Newton tarafından kullanılan tanımların doğasında olan sorunlar, 19. yüzyılda dikkatli bir analizin ve biçimsel kanıtın canlanmasına yol açmıştır. Kesinliğin yanlış anlaşılması, matematiğin yaygın yanlış anlamalarının bir nedeni. Günümüzde, matematikçiler bilgisayar destekli ispatları kendi aralarında tartışmaya devam ediyor. Büyük hesaplamaları doğrulamak zor olduğundan, bu tür ispatlar yeterince kesin olmayabiliyor.

Geleneksel düşüncede aksiyomlar "açık gerçekler" dir, ancak bu anlayış sorunludur. Biçimsel  seviyede aksiyom, sadece bir aksiyomatik sistemin tüm türetilebilir formülleri bağlamında içsel bir anlam taşıyan sadece bir sembol dizesidir. Hilbert tüm matematiğini sağlam bir aksiyomatik tabana koymayı amaçlamıştı. Fakat Gödel'in eksiklik teorisine göre yeterince güçlü her aksiyomatik sistem belirlenemeyen formüllere sahipti; böylece matematiğin son bir aksiyomatikleştirilmesi olanaksızdı. Bununla birlikte, matematiğin çoğu zaman biçimsel içeriğine kadar aksiyomatikleştirmede, matematiksel ifade veya ispatın küme teorisinde formüller haline dökebileceği düşünülmüştür.

Matematik Alanları

Matematik genel olarak miktar, yapı, uzay ve değişim (aritmetik, cebir, geometri ve analiz) incelemesine bölünebilir. Bu ana alanlara ek olarak, matematiğin kalbinden diğer alanlara bağlantıları keşfetmeye ayrılmış alt bölümler de vardır; mantık, dizi teori gibi . Bazı alanlar ilgisiz gibi görünse de, Langlands Programı, Galois Grupları, Riemann Yüzeyleri ve Sayı Teorisi gibi konularla bağlantı kurmuştur.

Vakıflar ve felsefe

Matematiğin temellerini açıklığa kavuşturmak için matematiksel mantık ve küme teorisi alanları geliştirildi. Matematiksel mantık, mantığın matematiksel çalışmasını ve diğer alanlara uygulanmasını içerir. Küme teorisi, nesnelerin kümelerini veya koleksiyonlarını inceleyen matematiğin bir koludur. Matematiksel yapılar ve aralarındaki ilişkilerle soyut bir şekilde ilgilenen kategori teorisi halen gelişmektedir. "Temeller krizi" ifadesi, yaklaşık 1900-1930 yılları arasında gerçekleşen matematik için kesin bir temelin araştırılmasını içermektedir. Matematiğin temelleri ile ilgili bazı anlaşmazlıklar günümüze kadar devam etmektedir. Cantor'un belirlediği küme teorisine itirazlar ve Brouwer-Hilbert tartışmaları buna örnektir.

Matematiksel mantık, matematiğin titiz bir aksiyomatik çerçeve içinde ayarlanması ve böyle bir çerçevenin sonuçlarının incelenmesi ile ilgilidir. Bu nedenle, Gödel'in eksiklik teoremlerine ev sahipliği yapar. Sayısal teorik aksiyomların sonlu koleksiyonu ne olursa olsun temel olarak alınır. Gödel, sayısal teorik bir gerçek olan ama bu aksiyomlardan bağımsız olarak biçimsel bir açıklama yapmaya çalıştı. Dolayısıyla hiçbir biçimsel sistem sayı teorisini tamamen aksiyomlaştıramamıştır. Modern mantık yineleme teorisi, model teorisi ve ispat teorisine ayrılmıştır ve kategori teorisinin yanı sıra teorik bilgisayar bilimleriyle yakından ilişkilidir. Yineleme teorisi bağlamında, sayılar teorisinin tam aksiyomatik hale getirilememesi de MRDP teoreminin bir sonucu olarak gösterilebilir.

Teorik bilgisayar bilimi hesaplanabilirlik teorisi, hesaplama karmaşıklığı teorisi ve bilgi teorisini içerir. Hesaplanabilirlik teorisi, en iyi bilinen model olan Turing makinesi de dahil olmak üzere bilgisayarın çeşitli teorik modellerinin sınırlamalarını inceliyor. Karmaşıklık teorisi, bilgisayar tarafından ele alınabilirlik çalışmasıdır. Bazı problemler bilgisayar tarafından teorik olarak çözülse bile zaman veya mekan açısından çok daha pahalı olduğundan pratik olarak uygulanamayacak gibi görünüyor. Son olarak, bilgi teorisi belirli bir ortamda saklanabilecek veri miktarı ile ilgilidir ve dolayısıyla sıkıştırma ve entropi gibi kavramlarla ilgilenir.

Saf matematik

Miktar

Nicelik çalışması sayılarla başlar. İlk olarak bilinen doğal ve tam sayılar ve bunlar üzerinde  karakterize edilen aritmetik işlemler. Tam sayıların daha derin özellikleri sayı kuramında incelenir. Buda Fermat'ın Son Teoremi gibi popüler sonuçları ortaya çıkartmıştır. İkiz asal sayı varsayımı ve Alman matematikçi Christian Goldbach'ın varsayımı sayılar teorisinde çözülmemiş iki problemdir.

Sayı sistemi daha da geliştirildiğinde, tam sayılar rasyonel sayıların bir alt kümesi olarak kabul edilir. Bunlar sırayla, sürekli sayıları temsil etmek için kullanılan gerçek sayıların içinde bulunurlar. Gerçek sayılar karmaşık (kompleks) sayılar için genellendirilir. Bunlar, kuaterniyonları (dördey) ve oktonyonları içeren bir dizi hiyerarşinin ilk adımlarıdır. Başka bir çalışma alanı da kardinal sayılar ile tanımlanan kümelerin büyüklüğüdür. Bunlara, sonsuz büyüklükteki kümelerin boyutlarının anlamlı bir şekilde karşılaştırılmasına izin veren aleph numaraları dahildir.

Yapı

Sayı ve fonksiyon kümeleri gibi birçok matematiksel nesne, kümede tanımlanan işlemler veya ilişkilerin bir sonucu olarak dahili bir yapı sergilemektedir. Matematik daha sonra, bu yapılar açısından ifade edilebilen kümelerin özelliklerini inceler; örneğin sayı teorisi aritmetik işlemlerle ifade edilebilen tam sayı kümesinin özelliklerini inceler. Dahası, farklı yapısal kümelerin benzer özelliklere sahip oldukları sıklıkla görülür. Yapı sınıfı için aksiyomları ifade etmek bir başka soyutlanma aşamasında bütün yapıların sınıfını incelemeyi mümkün kılar. Böylece gruplar, cebirsel işlemlerle tanımlanan çemberler, alanlar ve diğer soyut sistemleri inceleyebilir. Bu tür çalışmalar soyut cebirin alanını oluşturmaktadır.

Soyut cebir, büyük genelliği sayesinde görünüşte ilgisiz problemlere dahi sıklıkla uygulanabilir. Örneğin, pusula ve doğrultu konstrüksiyonları ile ilgili bir takım eski sorunlar, alan teorisi ve grup teorisini içeren Galois Teorisi kullanılarak çözülmüştür. Cebirsel teorinin diğer bir örneği lineer cebirdir. Vektörel uzayların genel çalışması olan vektörler, hem nicelik hem de yöne sahiptirler ve uzayda noktaları modellemek için kullanılabilirler. Bu, geometri ve cebirin başlangıçta ilgisiz gibi görülen alanlarının modern matematikte çok güçlü etkileşimlere sahip olduğunun göstergesidir. Kombinatorikler, belirli bir yapıya uyan nesnelerin sayısını numaralandırma yollarını araştırırlar.

Boşluk

Uzay çalışması, geometriyle başlar. Özellikle uzay ve sayıları birleştiren Öklid geometrisi ve iyi bilinen Pisagor teoremini kapsar. Trigonometri, üçgenlerin kenarları ve açıları ile trigonometrik fonksiyonları arasındaki ilişkileri ele alan matematiğin dalıdır. Modern uzay çalışması, yüksek boyutlu geometriyi, Öklidyen olmayan geometrileri (genel görelilikte merkezi bir rol oynar) ve topolojiyi içerecek şekilde genelleştirilir. Nicelik ve uzay, analitik geometride, diferansiyel geometride ve cebirsel geometride önemli rol oynamaktadır. Sayı teorisi ve fonksiyonel analizdeki problemleri çözmek için konveks ve soyut geometri geliştirildi, ancak günümüzde optimizasyon ve bilgisayar bilimlerindeki uygulamalar gözlemleniyor. Diferansiyel geometride, fiber demetleri ve manifoldlar üzerindeki hesaplamalar, özellikle de vektör ve tensör hesabı kavramları bulunur. Cebirsel geometride, geometrik cisimlerin polinom denklemlerinin çözüm kümeleri olarak tanımlanması, nicelik ve mekan kavramlarının birleştirilmesi ve ayrıca yapı ve uzayı birleştiren topolojik grupların çalışması vardır. Lie grupları alan, yapı ve değişimi incelemek için kullanılır. Topoloji, birçok alt bölümüyle günümüz matematiğinin en büyük gelişim alanı olabilir. Nokta-küme topoloji, küme-teorik topoloji, cebirsel topoloji ve diferansiyel topoloji topolojinin alt bölümleridir. Özellikle günümüz topolojisinin örnekleri, ölçülebilirlik teorisi, aksiyomatik küme teorisi, homotopi teorisi ve Morse teorisidir. Topoloji ayrıca şu an çözülmüş olan Poincaré varsayımını ve Hodge varsayımının halen çözülmemiş alanlarını da içerir. Dört renk teoremi ve Kepler varsayımı da dahil olmak üzere, geometri ve topolojideki diğer sonuçlar, sadece bilgisayar yardımı ile kanıtlanmıştır.

Değişiklik

Değişimin anlaşılması ve tanımlanması, doğa bilimlerinde ortak bir temadır. Bunu araştırmak için de güçlü bir araç olarak hesaplama geliştirilmiştir. Burada değişen bir miktarı tanımlayan merkezi bir kavram olarak fonksiyonlar ortaya çıkmaktadır. Gerçek bir değişkene ait gerçek sayıların ve fonksiyonların titiz çalışmaları reel analiz olarak bilinir. Karmaşık sayılarla yapılan çalışmalar kompleks analizin çalışma alanını oluşturur. Fonksiyonel analiz daha çok fonksiyonların sonsuz boyutlu alanlarıyla ilgilenir. Fonksiyonel analizin uygulamalarından biri de kuantum mekaniğidir. Birçok problem çözülürken miktar ile değişim hızı arasındaki ilişkiler incelenir ve bunlar diferansiyel denklemlerin ilgi alanıdır. Doğadaki bir çok olgu dinamik sistemler tarafından tanımlanabilir. Kaos teorisi, bu sistemlerin çoğunun öngörülemeyen ancak hala deterministik davranış sergilediği yolları kesin kılar.

Uygulamalı matematik

Uygulamalı matematik  bilim, mühendislik, işletme ve endüstride kullanılan matematiksel yöntemlerle ilgilenir. Böylece, "uygulamalı matematik" uzmanlaşmış bilgi ile matematiksel bir bilimdir. Matematiksel modellerin formülasyonu, çalışması ve kullanımı da uygulamalı matematiğin alanına girer.

Geçmişte, pratik uygulamalar matematik teorilerinin gelişimini tetiklemiş ve matematiğin esas olarak kendisi için geliştirildiği saf matematiğin çalışma alanına girmiştir. Uygulamalı matematiğin etkinliği, teorik matematiğin araştırmalarıyla doğrudan bağlantılıdır.

İstatistik ve diğer karar bilimleri

Uygulamalı matematik, formüle edilmiş istatistik disiplinlerle özellikle de olasılık teorisi ile önemli ölçüde örtüşmektedir. Bir araştırma projesinin parçası olarak çalışan istatistikçiler rastgele örnekleme ve deneylerle anlamlı olan verileri oluşturmaya çalışırlar. İstatistikçiler deneylerden ve örneklerden verileri gözden geçirirken veya gözlemsel araştırmalardan veri analiz ederken, modelleme sanatı ve çıkarım teorisini kullanırlar. Tahmini modeller ve çıkarımlar yeni veriler üzerinde test edilmelidir.

İstatistiksel teori, istatistiksel bir eylemin beklenen kayıplarını en aza indirgemenin yollarını araştırır. Örneğin parametre tahmini ve hipotez testlerinde uygulanacak en uygun yöntemleri araştırır. Bu geleneksel istatistiki matematik, beklenen kayıp veya maliyet gibi objektif sorunları asgari düzeye indirgeyerek formülize eder. Örneğin, belirli bir nüfus ortalaması için yapılan anketin tahmini maliyetini asgariye indirmeyi ve güven düzeyini artırmayı içerir. Matematiksel istatistik teorisi optimizasyonu kullanması sebebiyle, operasyon araştırması, kontrol teorisi ve matematiksel ekonomi gibi diğer karar verici bilimlerle ilgilidir.

Hesaplamalı matematik

Hesaplamalı matematik, insan kapasitesi için çok büyük hesaplamalar gerektiren problemleri çözmek için yöntemler önerir. Sayısal analiz çalışmaları fonksiyonel analiz ve yaklaşım teorilerini kullanır. Sayısal analiz ve daha geniş anlamda bilimsel hesaplama, matematiğin analitik olmayan konularını, özellikle algoritmik matris ve çizgi teorisini de inceler. Hesaplamalı matematiğin diğer alanları arasında bilgisayar cebiri ve sembolik hesaplama bulunur.

Matematik ödülleri

Muhtemelen matematikte en prestijli ödül, 1936'da kurulan ve dört yılda bir verilen (II. Dünya Savaşı hariç) Fields Madalyası'dır. Fields Madalyası Nobel Ödüllerinin matematiksel bir eşdeğeridir ve en fazla dört kişiye verilir.

Bu ödüller yaşam boyu başarılı olanlara, yenilikçi olabilen veya kurulu bir alandaki olağanüstü bir sorunun çözümünü sağlayanlara verilir. Wolf Ödülü, Abel Ödülü ve Chern Madalyası bunlara örnek gösterilebilir.

1900'de Alman matematikçi David Hilbert  23 problemden oluşan ve "Hilbert'in Problemleri" adıyla ünlenen bir liste düzenledi. Bu liste, matematikçiler arasında büyük ün kazandı. Dokuz problem günümüzde çözülmüş durumda. 2000 yılında yedi önemli sorudan oluşan yeni bir liste yayınlandı ve adına "Milenyum Problemleri" denildi. Bu problemlerin her bir çözümüne 1 milyon dolarlık bir ödül verildi. Bu problemlerden sadece bir tanesi Hilbert'in problemlerinden (Riemann hipotezi) alınmıştır.